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[18 - Cadenas de Markov en tiempo contínuo](https://www.overleaf.com/read/wmkypgnzztdn#38decd)
### Secciones
-- Proceso de nacimiento y muerte en tiempo contínuo (11 - 18)
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+El proceso de nacimiento y muerte en tiempo continuo
+
+---
+El proceso de nacimiento y muerte en tiempo continuo I
+
+"Nacimiento" y "muerte" es una analogía tétrica que puede interpretarse también como "aparición y desaparición" o "llegada y salida"o "llegada" y "salida" o "unión" y "separación" o "haciendo fila y listo el trámite"...
+
+{ style="display: block; margin: auto;" }
+
+
+---
+El proceso de nacimiento y muerte en tiempo continuo II
+
+
+* Considérese una “máquina” que puede estar en cualquiera de varios estados en
+cada instante de tiempo $t \geq 0$.
+* El conjunto de estados posibles, el espacio de estados S, será siempre discreto:
+
+$$
+S = \{0, 1, 2, \ldots, N\} \quad \text{o} \quad S = \{0, 1, 2, \ldots\}
+$$
+
+* Al tiempo t, el estado de la máquina es denotado por $X_t$.
+
+!!! note ""
+ Por ejemplo, $X_t$ podría denotar el número de animales en una poza para beber.
+ El estado de la máquina es el número $X_t$ de animales al tiempo $t$.
+
+---
+
+Suposiciones básicas I
+Proceso de nacimiento y muerte
+
+**1.** Si al tiempo $t$ la máquina está en el estado $i$, permanece en ese estado por un
+tiempo aleatorio que es exponencialmente distribuido con parámetro $\Omega_i$.
+
+- El tiempo de espera promedio en el estado $i$ es el recíproco $1 / \Omega_i$
+- $\Omega_i$ depende del estado $i$, pero no depende de otros estados anteriores
+- El estado $i$ pudiera ser **absorbente**: una vez que la máquina entra al estado $i$, permanecerá siempre ahí
+- En este caso, $\Omega_i = 0$ y el tiempo de espera promedio es $1 / \Omega_i \rightarrow \infty$
+
+
+---
+Suposiciones básicas II
+Proceso de nacimiento y muerte
+
+**2.** Cuando la máquina sale del estado $i$, cambia al estado $i + 1$ o al estado $i - 1$
+(habían 9 vacas, luego hay 8 si se va una, o 10 si llega otra). Sea
+
+$$
+\begin{align}
+p_i &= P(\{\text{próximo estado es } i + 1 \mid \text{último estado es } i\}) \notag \\
+q_i &= 1 - p_i \notag \\
+ &= P(\{\text{próximo estado es } i - 1 \mid \text{último estado es } i\}) \tag{7}
+\end{align}
+$$
+
+
+
+Entonces $p_i$ y $q_i$ dependen solamente del estado $i$ y no de otros detalles del proceso
+(tales como el tiempo $t$, la duración en $i$ o el estado antes de $i$).
+
+---
+Suposiciones básicas III
+Proceso de nacimiento y muerte
+
+
+
+El proceso estocástico $\{X_t\}_{t=0}^\infty$ es un registro completo de los estados ocupados por la máquina para todos los tiempos $t \geq 0$.
+
+---
+Propiedad de la falta de memoria I
+Proceso de nacimiento y muerte
+
+Dado el presente estado $X_t$ del sistema al tiempo $t$, los estados futuros de la máquina no
+dependen de los estados pasados.
+
+- En particular, si el estado al tiempo $t$ es $X_t = i$, entonces es completamente
+irrelevante si ha estado en el estado $i$ por varios años o si acaba de cambiar al
+estado $i$, para predecir cuándo se mudará del estado $i$.
+
+---
+Propiedad de la falta de memoria II
+Proceso de nacimiento y muerte
+
+- Dado que la distribución exponencial sigue la propiedad de la falta de memoria,
+ la máquina se comporta como si acabara de moverse al estado $i$ a pesar de qué tan
+ largo hubiera realmente ocupado el estado $i$.
+
+- La distribución exponencial es la única distribución continua concentrada en
+ $[0, \infty[$ para los tiempos de espera que tiene esta propiedad.
+
+Nótese que si $\Omega_i = 0$ para el estado $i$, entonces los valores de $p_i$, $q_i$ son innecesarios de especificar dado que la máquina no puede cambiar del estado $i$ una vez en él.
+
+---
+Proceso de nacimiento y muerte en tiempo continuo
+Síntesis
+
+Consiste de una máquina que puede cambiar entre estados en un espacio de estados $S$.
+
+- $X_t$ denota el estado ocupado al tiempo $t$ para $t \geq 0$.
+
+- La máquina permanece en el estado $i$ por un período de tiempo indeterminado
+ (llamado tiempo de espera o permanencia) que es exponencialmente distribuido
+ con parámetro $\Omega_i$ (tiempo de espera promedio $1 / \Omega_i$).
+
+- Cuando la máquina cambia, cambia a los estados $i + 1$, $i - 1$ con probabilidades
+ respectivas $p_i$, $q_i = 1 - p_i$.
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