From 0c9f58f2791231f7323ab6d5c8d0021796aa723a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jacob Gonzalez Gamez Date: Wed, 28 May 2025 19:01:02 -0600 Subject: [PATCH] Transcripcion ejemplos funciones que dan momentos --- docs/2_7_2_ejemplos.md | 139 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 135 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/docs/2_7_2_ejemplos.md b/docs/2_7_2_ejemplos.md index c012e12..f986e10 100644 --- a/docs/2_7_2_ejemplos.md +++ b/docs/2_7_2_ejemplos.md @@ -1,7 +1,138 @@ -### Presentación + --- +:material-pencil-box: **EJEMPLO** -[7 - Funciones que dan momentos](https://www.overleaf.com/read/cgwskrxfpkps#713512) +!!! example "Ejemplo para un $f_X(x)$ triangular" + Para el siguiente pdf $f_X(x)$ triangular, determine la función característica, $\Phi_X(\omega)$, y la función generadora de momentos, $M_X(\nu)$, y a partir de ahí determine el primer momento ordinario (la media) y el segundo momento central (la varianza). + + | Gráfica | Expresión | + | ------ | :----------: | + |![PDF fx(x) Triangular](images/7_pdf_triangular.svg) |





\( f_X(x) = \begin{cases} x & 0 \leq x < 1 \\ 2 - x & 1 \leq x < 2 \\ 0 & \text{el resto} \end{cases} \)| -### Secciones -- Ejemplos para diferentes funciones (10 - 17) + +**Pasos de la solución:** + +**Función característica:** + +\begin{equation} + \begin{aligned} + \Phi_X(\omega) &= E[e^{j\omega x}] \\ + &= \int_0^1 x\,e^{j\omega x}\,dx + \int_1^2 (2 - x)\,e^{j\omega x}\,dx \\ + &= e^{j\omega} \left[\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\right]^2 +\end{aligned} +\end{equation} + + +**Función generadora de momentos:** + +\begin{equation} + \begin{aligned} + M_X(s) &= E[e^{sx}] \\ + &= \int_0^1 x\,e^{sx}\,dx + \int_1^2 (2 - x)\,e^{sx}\,dx \\ + &= \frac{(e^s - 1)^2}{s^2} +\end{aligned} +\end{equation} + +**Primer momento ordinario usando la definición:** + +\begin{equation} +\begin{aligned} + m_1 &= E[X] \\ + &= \int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx \\ + &= \int_0^1 xx\,dx + \int_1^2 x(2-x)\,dx \\ + &= \frac{x^3}{3} \bigg\rvert_0^1 + x^2 \bigg\rvert_1^2 - \frac{x^3}{3} \bigg\rvert_1^2 \\ + &= 1 \text{ (Tiene sentido por la simetría)} +\end{aligned} +\end{equation} + + **Segundo momento central usando la definición:** + +\begin{equation} +\begin{aligned} + \sigma_X^2 &= E\left[ (X - \overline{X})^2 \right] \\ + &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ + &= \int_{0}^{1} x^2\,x\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{2} x^2\,(2-x)\,\mathrm{d}x - 1\ \\ + &= \frac{x^4}{4} \bigg\rvert_0^1 + \frac{2x^3}{3} \bigg\rvert_1^2 - \frac{x^4}{4} \bigg\rvert_1^2 - 1 \\ + &= \frac{1}{6} +\end{aligned} +\end{equation} + + +**Primer momento ordinario usando la MGF:** + +\begin{equation} +\begin{aligned} + m_1 &= \frac{d}{ds}\left[\left(\frac{e^s-1}{s}\right)^2\right] \bigg\rvert_{s=0} \\ + &= 2 \left(\frac{e^s-1}{s}\right)\left(\frac{se^s-e^s+1}{s^2}\right) \bigg\rvert_{s=0} \\ + &= 2\,(1)\,(1/2)\ \\ + &= 1 +\end{aligned} +\end{equation} + +*Corresponde con el resultado anterior* + +**Segundo momento central usando la MGF:** + +\begin{equation} +\begin{aligned} + \sigma_X^2 &= E\left[ (X - \overline{X})^2 \right] = E[X^2] - (E[X])^2 \\ + E[X^2] = \frac{d^2}{ds^2}\,M_X(s)\Bigg\rvert_{s=0} &= \frac{d^2}{ds^2}\left( 1 + \frac{s}{2!} + \frac{s^2}{3!} + \cdots + \frac{s^{n-1}}{n!} + \cdots \right)\Bigg\rvert_{s=0} \\ + &= \frac{d^2}{ds^2}\left( 1 + \cdots + \frac{s^2}{4} + \frac{2s^2}{6} + \cdots \right)\Bigg\rvert_{s=0} \\ + &= \frac{d^2}{ds^2}\left( 1 + \cdots + \frac{7s^2}{12} + \cdots \right)\Bigg\rvert_{s=0} = \frac{7}{6} \\ + \sigma_X^2 &= E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6} +\end{aligned} +\end{equation} + +*Corresponde con el resultado anterior* + + +!!! note "" + En resumen: + + **Función característica:** + + $$ + \Phi_X(\omega) = e^{j\omega} \left[\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\right]^2 + $$ + + **Función generadora de momentos:** + + $$ + M_X(s) = \frac{(e^s - 1)^2}{s^2} + $$ + + **Primer momento ordinario usando la definición:** + + $$ + m_1 = 1\quad + $$ + + **Segundo momento central usando la definición:** + + $$ + \sigma_X^2 = \frac{1}{6} + $$ + + **Primer momento ordinario usando la MGF:** + + $$ + m_1 = 1 + $$ + + **Segundo momento central usando la MGF:** + + $$ + \sigma_X^2 = \frac{1}{6} + $$ + + + +## Unicidad de las funciones que dan momentos + +La **MGF** (*Moment Generating Function*, función generadora de momentos) y la **CF** (*Characteristic Function*, función característica) son únicas para cada distribución y representan **una descripción completa de la variable aleatoria**, tanto como lo son la **CDF** (*Cumulative Distribution Function*, función de distribución acumulativa) y la **PDF** (*Probability Density Function*, función de densidad probabilística). + +| | Uniforme | Exponencial | Rayleigh | +|:--------|:------------------:|:------------------:|:------------------:| +| **PDF** | \(\frac{1}{b-a}\) | \(\lambda e^{-\lambda x}\)| \(\frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/(2\sigma^2)}\) | +|
**MGF** | \(\left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{\nu b} - e^{\nu a}}{\nu (b-a)} & \text{para } \nu \neq 0 \\[1mm] 1 & \text{para } \nu = 0 \end{array} \right.\) |
\(\frac{\lambda}{\lambda - \nu}, \quad \nu < \lambda\) |
\(1 + \sigma \nu e^{\sigma^2 \nu^2 / 2} \ldots\) | +|
**CF** | \(\left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{j \omega b} - e^{j \omega a}}{j \omega (b-a)} & \text{para } \omega \neq 0 \\[1mm] 1 & \text{para } \omega = 0 \end{array} \right.\) |
\(\frac{\lambda}{\lambda - j \omega}\) |
\(1 - \sigma \omega e^{-\sigma^2 \omega^2 / 2} \ldots\) |