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Transcripcion ejemplos funciones que dan momentos #48

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Transcripcion ejemplos funciones que dan momentos #48

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@@ -1,7 +1,138 @@
### Presentación
---
:material-pencil-box: **EJEMPLO**

[7 - Funciones que dan momentos](https://www.overleaf.com/read/cgwskrxfpkps#713512)
!!! example "Ejemplo para un $f_X(x)$ triangular"
Para el siguiente pdf $f_X(x)$ triangular, determine la función característica, $\Phi_X(\omega)$, y la función generadora de momentos, $M_X(\nu)$, y a partir de ahí determine el primer momento ordinario (la media) y el segundo momento central (la varianza).

| Gráfica | Expresión |
| ------ | :----------: |
|![PDF fx(x) Triangular](images/7_pdf_triangular.svg) | <br> <br> <br> <br> <br> <br>\( f_X(x) = \begin{cases} x & 0 \leq x < 1 \\ 2 - x & 1 \leq x < 2 \\ 0 & \text{el resto} \end{cases} \)|

### Secciones
- Ejemplos para diferentes funciones (10 - 17)


**Pasos de la solución:**

**Función característica:**

\begin{equation}
\begin{aligned}
\Phi_X(\omega) &= E[e^{j\omega x}] \\
&= \int_0^1 x\,e^{j\omega x}\,dx + \int_1^2 (2 - x)\,e^{j\omega x}\,dx \\
&= e^{j\omega} \left[\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\right]^2
\end{aligned}
\end{equation}


**Función generadora de momentos:**

\begin{equation}
\begin{aligned}
M_X(s) &= E[e^{sx}] \\
&= \int_0^1 x\,e^{sx}\,dx + \int_1^2 (2 - x)\,e^{sx}\,dx \\
&= \frac{(e^s - 1)^2}{s^2}
\end{aligned}
\end{equation}

**Primer momento ordinario usando la definición:**

\begin{equation}
\begin{aligned}
m_1 &= E[X] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx \\
&= \int_0^1 xx\,dx + \int_1^2 x(2-x)\,dx \\
&= \frac{x^3}{3} \bigg\rvert_0^1 + x^2 \bigg\rvert_1^2 - \frac{x^3}{3} \bigg\rvert_1^2 \\
&= 1 \text{ (Tiene sentido por la simetría)}
\end{aligned}
\end{equation}

**Segundo momento central usando la definición:**

\begin{equation}
\begin{aligned}
\sigma_X^2 &= E\left[ (X - \overline{X})^2 \right] \\
&= E[X^2] - (E[X])^2 \\
&= \int_{0}^{1} x^2\,x\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{2} x^2\,(2-x)\,\mathrm{d}x - 1\ \\
&= \frac{x^4}{4} \bigg\rvert_0^1 + \frac{2x^3}{3} \bigg\rvert_1^2 - \frac{x^4}{4} \bigg\rvert_1^2 - 1 \\
&= \frac{1}{6}
\end{aligned}
\end{equation}


**Primer momento ordinario usando la MGF:**

\begin{equation}
\begin{aligned}
m_1 &= \frac{d}{ds}\left[\left(\frac{e^s-1}{s}\right)^2\right] \bigg\rvert_{s=0} \\
&= 2 \left(\frac{e^s-1}{s}\right)\left(\frac{se^s-e^s+1}{s^2}\right) \bigg\rvert_{s=0} \\
&= 2\,(1)\,(1/2)\ \\
&= 1
\end{aligned}
\end{equation}

*Corresponde con el resultado anterior*

**Segundo momento central usando la MGF:**

\begin{equation}
\begin{aligned}
\sigma_X^2 &= E\left[ (X - \overline{X})^2 \right] = E[X^2] - (E[X])^2 \\
E[X^2] = \frac{d^2}{ds^2}\,M_X(s)\Bigg\rvert_{s=0} &= \frac{d^2}{ds^2}\left( 1 + \frac{s}{2!} + \frac{s^2}{3!} + \cdots + \frac{s^{n-1}}{n!} + \cdots \right)\Bigg\rvert_{s=0} \\
&= \frac{d^2}{ds^2}\left( 1 + \cdots + \frac{s^2}{4} + \frac{2s^2}{6} + \cdots \right)\Bigg\rvert_{s=0} \\
&= \frac{d^2}{ds^2}\left( 1 + \cdots + \frac{7s^2}{12} + \cdots \right)\Bigg\rvert_{s=0} = \frac{7}{6} \\
\sigma_X^2 &= E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}
\end{aligned}
\end{equation}

*Corresponde con el resultado anterior*


!!! note ""
En resumen:

**Función característica:**

$$
\Phi_X(\omega) = e^{j\omega} \left[\frac{\sin(\omega/2)}{\omega/2}\right]^2
$$

**Función generadora de momentos:**

$$
M_X(s) = \frac{(e^s - 1)^2}{s^2}
$$

**Primer momento ordinario usando la definición:**

$$
m_1 = 1\quad
$$

**Segundo momento central usando la definición:**

$$
\sigma_X^2 = \frac{1}{6}
$$

**Primer momento ordinario usando la MGF:**

$$
m_1 = 1
$$

**Segundo momento central usando la MGF:**

$$
\sigma_X^2 = \frac{1}{6}
$$



## Unicidad de las funciones que dan momentos

La **MGF** (*Moment Generating Function*, función generadora de momentos) y la **CF** (*Characteristic Function*, función característica) son únicas para cada distribución y representan **una descripción completa de la variable aleatoria**, tanto como lo son la **CDF** (*Cumulative Distribution Function*, función de distribución acumulativa) y la **PDF** (*Probability Density Function*, función de densidad probabilística).

| | Uniforme | Exponencial | Rayleigh |
|:--------|:------------------:|:------------------:|:------------------:|
| **PDF** | \(\frac{1}{b-a}\) | \(\lambda e^{-\lambda x}\)| \(\frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/(2\sigma^2)}\) |
| <br> **MGF** | \(\left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{\nu b} - e^{\nu a}}{\nu (b-a)} & \text{para } \nu \neq 0 \\[1mm] 1 & \text{para } \nu = 0 \end{array} \right.\) | <br> \(\frac{\lambda}{\lambda - \nu}, \quad \nu < \lambda\) | <br> \(1 + \sigma \nu e^{\sigma^2 \nu^2 / 2} \ldots\) |
| <br> **CF** | \(\left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{j \omega b} - e^{j \omega a}}{j \omega (b-a)} & \text{para } \omega \neq 0 \\[1mm] 1 & \text{para } \omega = 0 \end{array} \right.\) | <br> \(\frac{\lambda}{\lambda - j \omega}\) | <br> \(1 - \sigma \omega e^{-\sigma^2 \omega^2 / 2} \ldots\) |