diff --git a/docs/2_6_2_momentos_va.md b/docs/2_6_2_momentos_va.md index 00c73eb..0098155 100644 --- a/docs/2_6_2_momentos_va.md +++ b/docs/2_6_2_momentos_va.md @@ -1,6 +1,270 @@ -### Presentación +# Momentos de una variable aleatoria -[6 - Valor esperado y momento de una variable aleatoria](https://www.overleaf.com/read/sddgrhxfdtjs#ff3cb6) +## Introducción -### Secciones -- Momentos de una variable aleatoria (14 - 28) \ No newline at end of file +> El valor esperado es un caso especial de una categoría más general, denominada "momentos de una variable aleatoria". Son valores que resumen o sintetizan propiedades de la variable aleatoria. + +> Mientras que la función de densidad de probabilidad (PDF) es una **descripción completa** de la variable aleatoria, los momentos cuantifican ciertas propiedades como el “valor esperado”, la “dispersión”, la “inclinación” o “lo +llano” de una *va* y son una herramienta estadística +valiosa para el análisis de su comportamiento. + +--- + +## Momentos alrededor del origen u *ordinarios* + +!!! tip "Momentos ordinarios" + La función \( g(X) = X^n \), \( n = 0, 1, 2, \ldots \), da los momentos alrededor del origen de la variable aleatoria \( X \) son: + + \[ + m_{n} = E\left[ X^{n} \right] = \int_{-\infty}^{\infty} x^{n} f_{x}(x) \, dx + \] + +**Casos especiales:** + +El valor \( m_0 = 1 \) es el área de la función \( f_x(x) \), en tanto que \( m_1 = \overline{X} = E[X] \) es el valor esperado de \( X \). + +--- + +## Momentos alrededor de la media o *centrales* + +!!! tip "Momentos centrales" + + Los momentos alrededor del valor medio \( \overline{X} \) se llaman momentos centrales y se denotan por \( \mu_n \). Son el valor esperado de la función \(g(x)= (X - \overline{X})^n , n=0,1,2,\ldots\) es decir, + + \[ + \mu_n = E\left[ (X - \overline{X})^n \right] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \overline{X})^n f_X(x) \, dx + \] + +**Casos especiales:** + +\( \mu_0 = 1 \) es el áres de \( f_x(x) \), mientras que \( \mu_1 = 0 \) + + +--- + +## Clasificación de momentos + +- **Momentos ordinarios** (alrededor del origen): \( E[X^n] \) +- **Momentos centrales**(alrededor de la media): \( E[(X - \overline{X})^n] \) +- **Momentos generalizados**(alrededor de un número cualquiera): \( E[(X - a)^n] \) +- **Momentos absolutos**(momentos alrededor del origen con los valores absolutos de la +variable aleatoria): \( E[|X|^n] \) + +--- + +## Algunos momentos importantes +Aparte de la media, algunos momentos particulares tienen nombres especiales y son los +más comúnmente utilizados para describir las variables aleatorias. Ellos son: + +| Nombre | Descripción | +|----------------------|--------------------------------------| +| **Varianza / Desviación estándar** | Medida de la *dispersión* | +| **Sesgo** | Medida de la *inclinación* | +| **Curtosis** | Medida del *abultamiento* | + +--- + +## Valor esperado + +Según la nueva definición de momentos, el valor esperado (o suma ponderada o +promedio o esperanza matemática. . . ) es \(m_1\), el primer momento ordinario + +\[ +m_1 = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) \, dx +\] + +--- + +## Varianza y desviación estándar + +**Segundo momento central:** + +A \( \mu_2 \) se le da el nombre *varianza* y tiene la notación \(\sigma_X^2\) + +\[ +\begin{aligned} +\sigma_X^2 &= E[(X - \overline{X})^2] \\ + &= \int_{-\infty}^{\infty} (x - \overline{X})^2 f_X(x) \, dx \\ + &= E[X^2-2X\overline{X}+\overline{X}^2]\\ + &= E[X^2] -2(E[X])^2+ \overline{X}^2\\ + &= E[X^2] - \overline{X}^2 \\ + &= m_2 - m_1^2 +\end{aligned} +\] + +La raíz cuadrada positiva de la varianza, \(\sigma_x\) , se denomina la **desviación estándar** de X. +Es una medida de la dispersión de la función \(f_{x} (x)\) alrededor de la media. + +**Desviación estándar:** \( \sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2} \) + +--- + +## Inclinación (*skewness*) + +**Tercer momento central:** + +\[ +\mu_3 = E[(X - \overline{X})^3] +\] + +es una medida de la asimetría de \(f_X (x)\) alrededor de su valor medio. +Se le llama la inclinación (*skewness*) de la función de densidad. + +* Si una densidad es simétrica alrededor de \(x = \overline{X}, \) tiene cero inclinación, de hecho, \(\sigma_n = 0\) para valores impares de n. +* El tercer momento central normalizado \( \mu_3/ \sigma_x^3\) es conocido como el *coeficiente de inclinación* de la función de densidad, + + +\[ +S_X = E\left[ \left( \frac{X - m_1}{\sigma_X} \right)^3 \right] +\] + +que es un número adimensional que describe la inclinación o el sesgo del PDF. Si \(S_X\) +es 0, la PDF es simétrica, y si es negativo o positivo tiende a la izquierda o la +derecha, respectivamente. + +## Kurtosis + +### Momento central de orden cuatro + +La **kurtosis** $\kappa_X$ se define como: + +$$ +\kappa_X = E \left[ \left( \frac{X - m_1}{\sigma_X} \right)^4 \right] - 3 +$$ + +Y es un número adimensional descriptor del **abultamiento** de la variable aleatoria \(\ldots \) + +- \(\ldots \) si está *"achatada"* ($\kappa_X < 0$) → *platicúrtica* +- \(\ldots \) o es *prominente* ($\kappa_X > 0$) → *leptocúrtica* + +La sustracción del 3 es una comparación con la distribución normal (que es siempre $\kappa_X = 3$) la cual se diría no es ni achatada ni prominente. + + + + + + +--- + +:material-pencil-box: **Ejemplo para un $f_X(x)$ de los primeros cuatro momentos I** + +!!! example "" + + + Para el siguiente PDF, $f_X(x)$, determine los primeros cuatro momentos de la variable aleatoria. + +![Descripción de la imagen](images/6_dist_dado.svg) + + ¿Primeras impresiones sobre la media, la dispersión, la inclinación y la kurtosis? + +--- + +:material-pencil-box: **EJEMPLO II** + +!!! example "" + + + $$ + f_X(x) = + \begin{cases} + 1 & 0 \leq x < 0.5 \\ + 0.5 & 0.5 \leq x < 1.5 \\ + 0 & \text{en otro caso} + \end{cases} + $$ + + **La media** momento ordinario de orden uno, + + $$ + m_1 = E[X] = \int_{0}^{0.5} x \cdot 1\,dx + \int_{0.5}^{1.5} x \cdot 0.5\,dx = 0.625 + $$ + + + +--- + + +--- + +:material-pencil-box: **EJEMPLO III** + +!!! example "" + **La varianza** momento central de orden dos, + + $$ + \begin{aligned} + \sigma_X^2 &= E[(X - m_1)^2] \\ + &= E[X^2] - m_1^2 \\ + &= \int_{0}^{0.5} x^2 \cdot 1\,dx + \int_{0.5}^{1.5} x^2 \cdot 0.5\,dx - 0.625^2 \\ + &= 0.1927 + \end{aligned} + $$ + + El significado de este número usualmente se aprecia en relación con otras + densidades probabilísticas (¿qué tan disperso es uno en comparación con + el otro?), y puede tener algún significado importante para el experimento + (la precisión de fabricación, por ejemplo). + +--- + +:material-pencil-box: **EJEMPLO IV** + +!!! example "" + **La inclinación (skewness)** momento central de orden tres, + + $$ + \begin{aligned} + S_X &= \left[ \left( \frac{X - m_1}{\sigma_X} \right)^3 \right] \\ + &= \int_{0}^{0.5} \left( \frac{x - 0.625}{0.439} \right)^3 \cdot 1\,dx \\ + &\quad + \int_{0.5}^{1.5} \left( \frac{x - 0.625}{0.439} \right)^3 \cdot 0.5\,dx \\ + &= 0.416 + \end{aligned} + $$ + + Esto implica que está sesgada a la derecha. + + +--- + +:material-pencil-box: **EJEMPLO V** + +!!! example "" + **La kurtosis** momento central de orden cuatro, + + $$ + \begin{aligned} + \kappa_X &= \left[ \left( \frac{X - m_1}{\sigma_X} \right)^4 \right] \\ + &= \int_{0}^{0.5} \left( \frac{x - 0.625}{0.439} \right)^4 \cdot 1\,dx \\ + &\quad + \int_{0.5}^{1.5} \left( \frac{x - 0.625}{0.439} \right)^4 \cdot 0.5\,dx - 3 \\ + &= -0.105 + \end{aligned} + $$ + + lo que implica que tiene una cima achatada. + +--- + + +## Ejemplos de momentos para distribuciones usuales I + + + + + +| **Característica** | **Uniforme** | **Exponencial** | **Rayleigh** | +|--------------------|--------------------------------------|------------------------------|-----------------------------------------------------------| +| **PDF** | $\frac{1}{b - a}$ | $\lambda e^{-\lambda x}$ | $\frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2 / (2\sigma^2)}$ | +| **Media** | $\frac{1}{2}(a + b)$ | $\lambda^{-1}$ | $\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ | +| **Varianza** | $\frac{1}{12}(b - a)^2$ | $\lambda^{-2}$ | $\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2$ | +| **Inclinación** | $0$ | $2$ | $\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4 - \pi)^{3/2}} \approx 0.63$ | +| **Kurtosis** | $-\frac{6}{5}$ | $6$ | $-\frac{6\pi^2 - 24\pi + 16}{(4 - \pi)^2} \approx 0.24$ | + +--- + +# Videos y referencias en internet +-**The Expected Value and Variance of Discrete Random Variables** + +jbstatistics, [https://youtu.be/Vyk8HQOckIE](https://youtu.be/Vyk8HQOckIE)