Skip to content

Transcripcion no monoticas realizada #54

New issue

Have a question about this project? Sign up for a free GitHub account to open an issue and contact its maintainers and the community.

Sign up for GitHub

By clicking “Sign up for GitHub”, you agree to our terms of service and privacy statement. We’ll occasionally send you account related emails.

Already on GitHub? Sign in to your account

Open
JosephAS06 wants to merge 1 commit into
base: main
Choose a base branch
from
Open

Transcripcion no monoticas realizada #54

Changes from all commits
Commits
Show all changes
1 commit
Select commit
File filter

Filter by extension

Filter by extension
Conversations
Failed to load comments.
Loading
Jump to
Jump to file
Failed to load files.
Loading
Diff view
Diff view
131 changes: 127 additions & 4 deletions docs/2_8_3_no_monotonicas.md
View file
Open in desktop
Original file line number Diff line number Diff line change
@@ -1,6 +1,129 @@
### Presentación
# Transformaciones no monotónicas de una va continua

[8 - Transformaciones de una variable aleatoria](https://www.overleaf.com/read/ndsxqhnskwzg#a6c0a8)
![Transformacion_no_monotonica](images/8_transf_no_monotonica.svg)

### Secciones
- Transformaciones no monotónicas de una va y sus ejemplos (29 - 40)
En general, puede ser que haya más de un intervalo de valores de $X$ que correspondan al evento $\{Y \leq y_0\}$. Por ejemplo, puede darse el caso que, para un dado $y_0$, el evento $\{Y \leq y_0 \}$ corresponde al evento $\{ X \leq x_{1}, x_{2} \leq X < x_{3} \}$.

**Premisa.** La probabilidad del evento $\{ Y \leq y_{0}\}$ iguala la probabilidad del evento $\{ \text{valores de } x \text{ que dan } Y \leq y_0 \}$ que se escribirá como $\{x : Y \leq y_{0}\}$. En otras palabras,

\begin{equation}
\begin{aligned}
F_{Y}(y_0) & = P\{Y \leq y_0\} \\ & = P\{x : Y \leq y_{0}\} = \int_{\{x : Y\leq y_0\}}f_{X}(x) ~\mathrm{d} x
\end{aligned}
\end{equation}


Se puede derivar formalmente el resultado anterior para obtener la densidad de $Y$

\begin{equation}
f_{Y}(y_{0}) = \frac{~\mathrm{d}}{{dy_{0}}} {\int_{\{x : Y \leq y_{0}\}}f_{X}(x) ~\mathrm{d} x}
\end{equation}

Y la función de densidad está dada (sin demostración) por

!!! tip "Teorema de transformación no monotónica"
$f_{Y}(y) = \sum_{n}\frac{f_{X}(x_{n})}{\left| \ \frac{~\mathrm{d}}{{dx}} \left. T(x) \right|_{x = x_{n}} \right| }$
donde la suma incluye las raíces $x_{n}, n = 1, 2, \ldots,$ que son las soluciones reales de la ecuación $y = T(x)$. Si $y = T(x)$ no tiene raíces reales para un valor dado de $y$, entonces $f_{Y}(y) = 0$.


---

:material-pencil-box: **EJEMPLO**

!!! example "Ejemplo de la transformación de ley cuadrada"
Hallar $f_{Y}(y)$ para la transformación de ley cuadrada $Y = T(X) = cX^{2}$, donde $c > 0 \in \mathbb{R}$.

No hay más información sobre $X$ pero se asumirá que tiene soporte en todo $\mathbb{R}$ (o que al menos tiene valores positivos y negativos, y por tanto no es monotónica la transformación $Y = cX^{2}$). Por el tipo de transformación, el dominio de $Y$ es $y > 0$.


![Transformacion_cuadratica](images/8_transf_cuadratica.svg)

Para la solución se utilizará dos métodos.


**Método 1** : *El método CDF* --- El evento $\{Y \leq y\}$ ocurre cuando $\{ -\sqrt{y/c} \leq x \leq \sqrt{y/c}\} = \{ x : Y \leq y\}$, con lo que

\begin{equation}
\begin{aligned}
F_{Y}(y) &= \int_{-\sqrt{y/c}}^{\sqrt{y/c}} f_{X}(x)\, dx \\
f_{Y}(y) &= \dfrac{d}{dy} \int_{-\sqrt{y/c}}^{\sqrt{y/c}} f_{X}(x)\, dx \qquad \text{CDF} \Rightarrow \text{PDF}
\end{aligned}
\end{equation}

Se aplica ahora la regla de Leibniz:

\begin{equation}
\begin{aligned}
f_{Y}(y) &= f_{X}(\sqrt{y/c})\left( \frac{1}{\sqrt{c}} \right)\left( \frac{1}{2\sqrt{y}} \right) \\
&\quad - f_{X}(-\sqrt{y/c})\left( -\frac{1}{\sqrt{c}} \right)\left( \frac{1}{2\sqrt{y}} \right) \\
&= \boxed{\frac{f_{X}(\sqrt{y/c}) + f_{X}(-\sqrt{y/c})}{2\sqrt{yc}} \quad \text{para} \quad y > 0}
\end{aligned}
\end{equation}

**Método 2** : *Por el teorema de transformación* --- Si se despeja $X$ de la ecuación $Y = cX^2$ se encuentra:

\begin{equation}
\begin{aligned}
{Y}/{c} & = X^2 \\
X & = \pm \sqrt{Y/c}
\end{aligned}
\end{equation}

de modo que las soluciones son $x_1 = -\sqrt{y/c}$, y $x_2 = \sqrt{y/c}$. Además, $\frac{~\mathrm{d}}{{dx}}T(x) = 2xc,$

\begin{equation}
\left. \frac{~\mathrm{d}}{{dx}}T(x) \right|_{x = x_1} = 2c\left[ -\sqrt{\frac{y}{c}} \right] = -2\sqrt{yc}
\end{equation}

\begin{equation}
\left. \frac{~\mathrm{d}}{{dx}}T(x) \right|_{x = x_2} = 2c\left[ \sqrt{\frac{y}{c}} \right] = 2\sqrt{yc}
\end{equation}

Finalmente, se evalúa en la ecuación \eqref{E:no_monotonica}

\begin{equation}
f_{Y}(y) = \sum_{n}\frac{f_{X}(x_{n})}{\left| \frac{~\mathrm{d}}{{dx}}\left. T(x) \right|_{x = x_{n}} \right| }
\end{equation}

y se obtiene

\begin{equation}
\begin{aligned}
f_{Y}(y) &= \frac{f_{X}(-\sqrt{y/c})}{\lvert -2\sqrt{cy} \rvert} + \frac{f_{X}(\sqrt{y/c})}{\lvert 2\sqrt{yc} \rvert} \\
&= \boxed{\frac{f_{X}(-\sqrt{y/c}) + f_{X}(\sqrt{y/c})}{2\sqrt{yc}} \quad \text{para} \quad y \geq 0}
\end{aligned}
\end{equation}


confirmando el resultado.

---

---

:material-pencil-box: **EJEMPLO**

!!! example "Ejemplo de la transformación cuadrática de una va normal"
Para la transformación $Y = T(X) = X^2$, encontrar $f_Y(y)$ con $X \sim \mathcal{N}(0,1)$.

Utilizando el resultado de la ecuación anterior
con $c = 1$, y conociendo además que

\begin{equation}
X \sim \mathcal{N}(0,1) \longrightarrow f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
f_{Y}(y) & = \frac{f_{X}(-\sqrt{y}) + f_{X}(\sqrt{y})}{2\sqrt{y}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(-\sqrt{y})^2/2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-(\sqrt{y})^2/2}}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}
\end{aligned}
\end{equation}


![Transformacion_cuad_VA_normal](images/8_transf_cuad_VA_normal.svg)

![Sim_corriente_transf](images/8_sim_corriente_transf.svg)

![Sim_corriente_transf](images/8_sim_potencia_transf.svg)

---