From 7a55912b9cf741c4dd94b9c1c216bb90606669c3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cristhian Date: Tue, 27 May 2025 16:43:33 -0600 Subject: [PATCH 1/5] =?UTF-8?q?Transcripci=C3=B3n=20de=20funci=C3=B3n=20ac?= =?UTF-8?q?umulativa=20condicional?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/4_0_introduccion.md | 123 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 122 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/docs/4_0_introduccion.md b/docs/4_0_introduccion.md index 9e09578..1fca57a 100644 --- a/docs/4_0_introduccion.md +++ b/docs/4_0_introduccion.md @@ -1 +1,122 @@ -Los procesos aleatorios son los terceros “objetos aleatorios” por analizar. Incorporan una segunda variable independiente, el tiempo, que los hace útiles en la descripción de fenómenos cambiantes o dinámicos tales como las señales y los sistemas. \ No newline at end of file +Los procesos aleatorios son los terceros “objetos aleatorios” por analizar. Incorporan una segunda variable independiente, el tiempo, que los hace útiles en la descripción de fenómenos cambiantes o dinámicos tales como las señales y los sistemas. + +# El problema inicial +## Variable aleatoria + +Los conjuntos S_1 = \{todos los equipos del campeonato nacional \} o +S_2 = {los colores favoritos de los estudiantes de esta clase} +son útiles en la descripción de ciertos eventos, pero no permiten la *manipulación numérica*. + +- Este espacio de eventos contiene conjuntos **abstractos**. +- Necesitamos **números** para sumar, restar, multiplicar, dividir… +- Necesitamos **funciones** para diferenciar, integrar… + +> Aquí es útil, entonces, la variable aleatoria… + + + + +# Variable aleatoria + +> **Definición** +Para un espacio de eventos \( S \), una **variable aleatoria** es cualquier regla que asocia +cada resultado elemental de \( S \) con **un número**. +Es decir, es una **función** cuyo dominio es el espacio (quizá abstracto) de eventos o muestras, +y cuyo rango es algún subconjunto de los números reales. + +![alt text](4_mapeo_multivaluado.svg) + +La notación \( X(s) = x \) significa que \( x \) es el valor asociado por \( X \) con el evento elemental \( s \). + + + +## Pero… + +### Una observación necesaria + +Las variables aleatorias *ni son variables, ni son aleatorias*[^1]. + +!!! note "Nota" + + + + \( X(s) \) es una **función** y es *determinística*, + pero describe el comportamiento de un fenómeno aleatorio subyacente. + + Por tanto, se trata de un nombre poco apropiado. En inglés: *misnomer*. + + + + +# Requisitos para la construcción de variables aleatorias I + +- **Un espacio de probabilidades** \( (S, P) \) para un experimento, que contiene todos los eventos elementales \( S \) y sus probabilidades asociadas \( P \). + +- **Una función de mapeo** \( X \) que mapea cada \( s \in S \) a un único punto \( x \in \mathbb{R} \) (la recta real). + +- **Una relación de dualidad** de la probabilidad, esto es, que si \( B \) es un subconjunto de \( \mathbb{R} \), la probabilidad del evento \( X(s) = B \) es equivalente a la del conjunto + \( A = X^{-1}(B) \in S \), que contiene todos los \( s \in S \) que se mapean a \( B \) bajo la función \( X \). + + +# Requisitos para la construcción de variables aleatorias II +![alt text](4_mapeo_VA_segmento_recta.svg) + +Figura: Mapeo de un subconjunto del espacio de eventos \( S \) en un segmento de la recta real \( \mathbb{R} \). + +\[ +X(s \in A) = B \qquad A = X^{-1}(B) \in S \qquad P(B) = P(A) +\] + + + +# Condiciones para que una función sea variable aleatoria I + +!!! note "Nota" + + *va* será la abreviación de “variable aleatoria”, de aquí en adelante. En inglés se utiliza **rv**, de *random variable*. + +Algunas condiciones debe cumplir \( X(s) \) para ser una *va*: + +🔵 Una variable aleatoria es una función **_no multivaluada_**. +Es decir, todo punto en \( S \) corresponde a solo un valor de la *va*. +(img/4_mapeo_multivaluado.svg) + +_Figura: Esto **no** (atención: **no**) representa el mapeo de una *va*._ + + + + +# Condiciones para que una función sea variable aleatoria II + +🔵 El conjunto \( \{ X \leq x \} \) existe y es un evento para cualquier número real \( x \). +Corresponde a los puntos \( s \) en el espacio de muestras \( S \) para los que la *va* \( X(s) \) no excede el número \( x \). + +(img/4_mapeo_X_leq_x.svg) + + +> La probabilidad \( P\{X \leq x\} \) es igual a la suma de las probabilidades de todos los eventos elementales \( s \) correspondientes a \( \{X \leq x\} \). + +# Condiciones para que una función sea variable aleatoria III + +🔵 Las probabilidades de los eventos \( \{ X = \infty \} \) y \( \{ X = -\infty \} \) son cero, es decir: + +\[ +P\{X = -\infty\} = 0 \qquad P\{X = \infty\} = 0 +\] + +\( X(s) \) puede ser ya sea \( -\infty \) o \( \infty \) para algunos valores de \( s \), pero su probabilidad será cero. + +*Como se especifica más adelante, esto es necesario para que su “función de densidad” tenga un área total finita.* + +# Variables aleatorias **discretas** I + +### Definición + +Una variable aleatoria discreta es una *va* cuyos valores posibles constituyen o un +**conjunto finito** o un **conjunto infinito *enumerable***. + +### Ejemplos + +- Las caras de un dado +- La población mundial +- Otros ejemplos que se mapean en \( \mathbb{N} \) \ No newline at end of file From 05d964c9510de71643fbd821090c09141ae34b21 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cristhian Date: Wed, 11 Jun 2025 19:05:35 -0600 Subject: [PATCH 2/5] =?UTF-8?q?Agregando=20transcripci=C3=B3n=20y=20recurs?= =?UTF-8?q?os=20gr=C3=A1ficos=20para=20funci=C3=B3n=20acumulativa=20condic?= =?UTF-8?q?ional?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md | 158 ++++- docs/5_espacio_eventos_moneda.svg | 423 +++++++++++++ docs/5_func_acum_monedas.svg | 597 ++++++++++++++++++ docs/5_funcs_acum_condicionales.svg | 555 ++++++++++++++++ 4 files changed, 1729 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 docs/5_espacio_eventos_moneda.svg create mode 100644 docs/5_func_acum_monedas.svg create mode 100644 docs/5_funcs_acum_condicionales.svg diff --git a/docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md b/docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md index 6c1c96d..31bfb49 100644 --- a/docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md +++ b/docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md @@ -1,6 +1,156 @@ -### Presentación -[5 - Funciones de distribución condicionales](https://www.overleaf.com/read/shfztrcvfysx#c6be0c) -### Secciones -- Función acumulativa condicional (1 - 9) \ No newline at end of file +# Función acumulativa condicional I + +Sea \( A \) el evento \( \{X \leq x\} \) de la variable aleatoria \( X \). La probabilidad \( P(X \leq x \mid B) \) se define como la *función acumulativa condicional* de \( X \), que se denota \( F_X(x \mid B) \), + +\[ +P(A \mid B) = P(X \leq x \mid B) \triangleq F_X(x \mid B) \tag{1} +\] + +\[ +F_X(x \mid B) = \frac{P\left[(X \leq x) \cap B\right]}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A \mid B) \tag{2} +\] + +Aplicable a variables aleatorias discretas, continuas o mixtas. + + + +--- + +# Función acumulativa condicional II + +El evento conjunto \( \{X \leq x\} \cap B \) consiste de los resultados \( s \) tales que \( X(s) \leq x \) y \( s \in B \). + +![Mapeo evento conjunto](images/5_mapeo_evento_conjunto.svg) + + + + +\[ +\{s : X(s) \leq x \land s \in B\} = \{s_1, s_2, s_3\} +\] + + + + +--- + +# Propiedades de la función acumulativa condicional + +Todas las propiedades de las funciones acumulativas ordinarias se aplican a \( F_X(x \mid B) \): + +1️⃣ Similar a \( P(\emptyset) = 0 \): +  \( F_X(-\infty \mid B) = 0 \) + +2️⃣ Similar a \( P(S) = 1 \): +  \( F_X(\infty \mid B) = 1 \) + +3️⃣ Es una probabilidad: +  \( 0 \leq F_X(x \mid B) \leq 1 \) + +4️⃣ Es no decreciente: +  \( F_X(x_1 \mid B) \leq F_X(x_2 \mid B) \) si \( x_1 < x_2 \) + +5️⃣ Probabilidad de un segmento: +\[ +P\{x_1 < X \leq x_2 \mid B\} = F_X(x_2 \mid B) - F_X(x_1 \mid B) +\] + +6️⃣ Continuidad por la derecha: +  \( F_X(x^+ \mid B) = F_X(x \mid B) \) + +--- + +# Ejemplo de un evento \( B \) discreto I + +Si solo existen los resultados elementales \( B = \{b_1, b_2, b_3\} \) entonces puede existir una función acumulativa \( F_X(x \mid B) \) con tres parámetros distintos, a saber +![Mapeo evento conjunto](images/5_funcs_acum_condicionales.svg) + + +--- + +# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas I + +> Considere el experimento de tres lanzamientos de moneda (o el lanzamiento de tres monedas, que es equivalente porque son eventos independientes). Sea la *va* \( X \) “el número total de coronas” y sea el evento \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \). +> Determine y esboce \( F_X(x \mid B) \). + +El lanzamiento de monedas tiene ocho resultados distintos \( (2^3) \). El evento \( B \) es: + +\[ +B = \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\} +\] + +con \( P(B) = \frac{1}{2} \) + + + +--- + +# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas II + +Considere el evento conjunto \( \{X \leq x\} \cap B \) y la definición + +\[ +F_X(x \mid B) = \frac{P(\{X \leq x\} \cap B)}{P(B)} +\] + +Si \( X \) es “el número total de coronas” y \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \), entonces: + +| \( x \) | \( \{X \leq x\} \cap B \) | \( P(\{X \leq x\} \cap B) \) | \( F_{X \mid B} \) | +|--------|------------------------------------------------------|------------------------------|--------------------| +| 0 | \( \{\text{EEE}\} \cap B = \emptyset \) | 0 | 0 | +| 1 | \( \{\text{CEE, ECE, EEC, EEE}\} \cap B = \emptyset \) | 0 | 0 | +| 2 | \( \{\text{CCE, CEC, ECC}\} \) | 3/8 | 3/4 | +| 3 | \( \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\} = B \) | 4/8 | 1 | + +--- + +# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas III +![Mapeo evento conjunto](images/5_espacio_eventos_moneda.svg) + + +> **Figura:** Espacio de eventos del experimento de tres lanzamientos de moneda, junto con los eventos \( X \), “el número total de coronas” y \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \), es decir, +> \( B = \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\} \) + + + +--- + +# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas IV + +Entonces, + +\[ +F_X(x \mid B) = +\begin{cases} +0 & x < 2 \\ +3/4 & 2 \leq x < 3 \\ +1 & 3 \leq x +\end{cases} +\] + +mientras que, + +\[ +F_X(x) = +\begin{cases} +0 & x < 0 \\ +1/8 & 0 \leq x < 1 \\ +1/2 & 1 \leq x < 2 \\ +7/8 & 2 \leq x < 3 \\ +1 & 3 \leq x +\end{cases} +\] + + +--- + +# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas V +![Mapeo evento conjunto](images/5_func_acum_monedas.svg) + + +> \( X \) es “el número total de coronas” y \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \) + + + diff --git a/docs/5_espacio_eventos_moneda.svg b/docs/5_espacio_eventos_moneda.svg new file mode 100644 index 0000000..e7848c4 --- /dev/null +++ b/docs/5_espacio_eventos_moneda.svg @@ -0,0 +1,423 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/docs/5_func_acum_monedas.svg b/docs/5_func_acum_monedas.svg new file mode 100644 index 0000000..c672567 --- /dev/null +++ b/docs/5_func_acum_monedas.svg @@ -0,0 +1,597 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/docs/5_funcs_acum_condicionales.svg b/docs/5_funcs_acum_condicionales.svg new file mode 100644 index 0000000..8545f3e --- /dev/null +++ b/docs/5_funcs_acum_condicionales.svg @@ -0,0 +1,555 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + From ab9cbbf63fb9983eaa7166fca3318ff79555fd0f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cristhian Date: Thu, 12 Jun 2025 00:02:38 -0600 Subject: [PATCH 3/5] Agregando correciones necesarias --- docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md | 103 +-- docs/4_0_introduccion.md | 122 ---- docs/5_espacio_eventos_moneda.svg | 423 ------------- docs/5_func_acum_monedas.svg | 597 ------------------ docs/5_funcs_acum_condicionales.svg | 555 ---------------- 5 files changed, 58 insertions(+), 1742 deletions(-) delete mode 100644 docs/5_espacio_eventos_moneda.svg delete mode 100644 docs/5_func_acum_monedas.svg delete mode 100644 docs/5_funcs_acum_condicionales.svg diff --git a/docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md b/docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md index 31bfb49..e767b57 100644 --- a/docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md +++ b/docs/2_5_1_funcion_acumulativa_condicional.md @@ -1,18 +1,22 @@ - # Función acumulativa condicional I -Sea \( A \) el evento \( \{X \leq x\} \) de la variable aleatoria \( X \). La probabilidad \( P(X \leq x \mid B) \) se define como la *función acumulativa condicional* de \( X \), que se denota \( F_X(x \mid B) \), +!!! tip "Definición: Función acumulativa condicional" -\[ -P(A \mid B) = P(X \leq x \mid B) \triangleq F_X(x \mid B) \tag{1} -\] + Sea \( A \) el evento \( \{X \leq x\} \) de la variable aleatoria \( X \). + La probabilidad \( P(X \leq x \mid B) \) se define como la *función acumulativa condicional* de \( X \), que se denota \( F_X(x \mid B) \): + + \[ + P(A \mid B) = P(X \leq x \mid B) \triangleq F_X(x \mid B) \tag{1} + \] + + \[ + F_X(x \mid B) = \frac{P\left[(X \leq x) \cap B\right]}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A \mid B) \tag{2} + \] + + Aplicable a variables aleatorias discretas, continuas o mixtas. -\[ -F_X(x \mid B) = \frac{P\left[(X \leq x) \cap B\right]}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A \mid B) \tag{2} -\] -Aplicable a variables aleatorias discretas, continuas o mixtas. @@ -35,30 +39,30 @@ El evento conjunto \( \{X \leq x\} \cap B \) consiste de los resultados \( s \) --- - # Propiedades de la función acumulativa condicional -Todas las propiedades de las funciones acumulativas ordinarias se aplican a \( F_X(x \mid B) \): +!!! tip "Propiedades de la función acumulativa condicional" + Todas las propiedades de las funciones acumulativas ordinarias se aplican a \( F_X(x \mid B) \): -1️⃣ Similar a \( P(\emptyset) = 0 \): -  \( F_X(-\infty \mid B) = 0 \) + 1️⃣ Similar a \( P(\emptyset) = 0 \): +   \( F_X(-\infty \mid B) = 0 \) -2️⃣ Similar a \( P(S) = 1 \): -  \( F_X(\infty \mid B) = 1 \) + 2️⃣ Similar a \( P(S) = 1 \): +   \( F_X(\infty \mid B) = 1 \) -3️⃣ Es una probabilidad: -  \( 0 \leq F_X(x \mid B) \leq 1 \) + 3️⃣ Es una probabilidad: +   \( 0 \leq F_X(x \mid B) \leq 1 \) -4️⃣ Es no decreciente: -  \( F_X(x_1 \mid B) \leq F_X(x_2 \mid B) \) si \( x_1 < x_2 \) + 4️⃣ Es no decreciente: +   \( F_X(x_1 \mid B) \leq F_X(x_2 \mid B) \) si \( x_1 < x_2 \) -5️⃣ Probabilidad de un segmento: -\[ -P\{x_1 < X \leq x_2 \mid B\} = F_X(x_2 \mid B) - F_X(x_1 \mid B) -\] + 5️⃣ Probabilidad de un segmento: + \[ + P\{x_1 < X \leq x_2 \mid B\} = F_X(x_2 \mid B) - F_X(x_1 \mid B) + \] -6️⃣ Continuidad por la derecha: -  \( F_X(x^+ \mid B) = F_X(x \mid B) \) + 6️⃣ Continuidad por la derecha: +   \( F_X(x^+ \mid B) = F_X(x \mid B) \) --- @@ -70,39 +74,48 @@ Si solo existen los resultados elementales \( B = \{b_1, b_2, b_3\} \) entonces --- -# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas I +--- -> Considere el experimento de tres lanzamientos de moneda (o el lanzamiento de tres monedas, que es equivalente porque son eventos independientes). Sea la *va* \( X \) “el número total de coronas” y sea el evento \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \). -> Determine y esboce \( F_X(x \mid B) \). +:material-pencil-box: **EJEMPLO** -El lanzamiento de monedas tiene ocho resultados distintos \( (2^3) \). El evento \( B \) es: +!!! example "Ejemplo de tres lanzamientos de monedas I" + Considere el experimento de tres lanzamientos de moneda (o el lanzamiento de tres monedas, que es equivalente porque son eventos independientes). Sea la *va* \( X \) “el número total de coronas” y sea el evento \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \). + Determine y esboce \( F_X(x \mid B) \). -\[ -B = \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\} -\] + El lanzamiento de monedas tiene ocho resultados distintos \( (2^3) \). El evento \( B \) es: -con \( P(B) = \frac{1}{2} \) + \[ + B = \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\} + \] + con \( P(B) = \frac{1}{2} \) + +--- --- -# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas II +--- -Considere el evento conjunto \( \{X \leq x\} \cap B \) y la definición +:material-pencil-box: **EJEMPLO** -\[ -F_X(x \mid B) = \frac{P(\{X \leq x\} \cap B)}{P(B)} -\] +!!! example "Ejemplo de tres lanzamientos de monedas II" + Considere el evento conjunto \( \{X \leq x\} \cap B \) y la definición + + \[ + F_X(x \mid B) = \frac{P(\{X \leq x\} \cap B)}{P(B)} + \] -Si \( X \) es “el número total de coronas” y \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \), entonces: + Si \( X \) es “el número total de coronas” y \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \), entonces: -| \( x \) | \( \{X \leq x\} \cap B \) | \( P(\{X \leq x\} \cap B) \) | \( F_{X \mid B} \) | -|--------|------------------------------------------------------|------------------------------|--------------------| -| 0 | \( \{\text{EEE}\} \cap B = \emptyset \) | 0 | 0 | -| 1 | \( \{\text{CEE, ECE, EEC, EEE}\} \cap B = \emptyset \) | 0 | 0 | -| 2 | \( \{\text{CCE, CEC, ECC}\} \) | 3/8 | 3/4 | -| 3 | \( \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\} = B \) | 4/8 | 1 | + | \( x \) | \( \{X \leq x\} \cap B \) | \( P(\{X \leq x\} \cap B) \) | \( F_{X \mid B} \) | + |--------|------------------------------------------------------|------------------------------|--------------------| + | 0 | \( \{\text{EEE}\} \cap B = \emptyset \) | 0 | 0 | + | 1 | \( \{\text{CEE, ECE, EEC, EEE}\} \cap B = \emptyset \) | 0 | 0 | + | 2 | \( \{\text{CCE, CEC, ECC}\} \) | 3/8 | 3/4 | + | 3 | \( \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\} = B \) | 4/8 | 1 | + +--- --- diff --git a/docs/4_0_introduccion.md b/docs/4_0_introduccion.md index 1fca57a..e69de29 100644 --- a/docs/4_0_introduccion.md +++ b/docs/4_0_introduccion.md @@ -1,122 +0,0 @@ -Los procesos aleatorios son los terceros “objetos aleatorios” por analizar. Incorporan una segunda variable independiente, el tiempo, que los hace útiles en la descripción de fenómenos cambiantes o dinámicos tales como las señales y los sistemas. - -# El problema inicial -## Variable aleatoria - -Los conjuntos S_1 = \{todos los equipos del campeonato nacional \} o -S_2 = {los colores favoritos de los estudiantes de esta clase} -son útiles en la descripción de ciertos eventos, pero no permiten la *manipulación numérica*. - -- Este espacio de eventos contiene conjuntos **abstractos**. -- Necesitamos **números** para sumar, restar, multiplicar, dividir… -- Necesitamos **funciones** para diferenciar, integrar… - -> Aquí es útil, entonces, la variable aleatoria… - - - - -# Variable aleatoria - -> **Definición** -Para un espacio de eventos \( S \), una **variable aleatoria** es cualquier regla que asocia -cada resultado elemental de \( S \) con **un número**. -Es decir, es una **función** cuyo dominio es el espacio (quizá abstracto) de eventos o muestras, -y cuyo rango es algún subconjunto de los números reales. - -![alt text](4_mapeo_multivaluado.svg) - -La notación \( X(s) = x \) significa que \( x \) es el valor asociado por \( X \) con el evento elemental \( s \). - - - -## Pero… - -### Una observación necesaria - -Las variables aleatorias *ni son variables, ni son aleatorias*[^1]. - -!!! note "Nota" - - - - \( X(s) \) es una **función** y es *determinística*, - pero describe el comportamiento de un fenómeno aleatorio subyacente. - - Por tanto, se trata de un nombre poco apropiado. En inglés: *misnomer*. - - - - -# Requisitos para la construcción de variables aleatorias I - -- **Un espacio de probabilidades** \( (S, P) \) para un experimento, que contiene todos los eventos elementales \( S \) y sus probabilidades asociadas \( P \). - -- **Una función de mapeo** \( X \) que mapea cada \( s \in S \) a un único punto \( x \in \mathbb{R} \) (la recta real). - -- **Una relación de dualidad** de la probabilidad, esto es, que si \( B \) es un subconjunto de \( \mathbb{R} \), la probabilidad del evento \( X(s) = B \) es equivalente a la del conjunto - \( A = X^{-1}(B) \in S \), que contiene todos los \( s \in S \) que se mapean a \( B \) bajo la función \( X \). - - -# Requisitos para la construcción de variables aleatorias II -![alt text](4_mapeo_VA_segmento_recta.svg) - -Figura: Mapeo de un subconjunto del espacio de eventos \( S \) en un segmento de la recta real \( \mathbb{R} \). - -\[ -X(s \in A) = B \qquad A = X^{-1}(B) \in S \qquad P(B) = P(A) -\] - - - -# Condiciones para que una función sea variable aleatoria I - -!!! note "Nota" - - *va* será la abreviación de “variable aleatoria”, de aquí en adelante. En inglés se utiliza **rv**, de *random variable*. - -Algunas condiciones debe cumplir \( X(s) \) para ser una *va*: - -🔵 Una variable aleatoria es una función **_no multivaluada_**. -Es decir, todo punto en \( S \) corresponde a solo un valor de la *va*. -(img/4_mapeo_multivaluado.svg) - -_Figura: Esto **no** (atención: **no**) representa el mapeo de una *va*._ - - - - -# Condiciones para que una función sea variable aleatoria II - -🔵 El conjunto \( \{ X \leq x \} \) existe y es un evento para cualquier número real \( x \). -Corresponde a los puntos \( s \) en el espacio de muestras \( S \) para los que la *va* \( X(s) \) no excede el número \( x \). - -(img/4_mapeo_X_leq_x.svg) - - -> La probabilidad \( P\{X \leq x\} \) es igual a la suma de las probabilidades de todos los eventos elementales \( s \) correspondientes a \( \{X \leq x\} \). - -# Condiciones para que una función sea variable aleatoria III - -🔵 Las probabilidades de los eventos \( \{ X = \infty \} \) y \( \{ X = -\infty \} \) son cero, es decir: - -\[ -P\{X = -\infty\} = 0 \qquad P\{X = \infty\} = 0 -\] - -\( X(s) \) puede ser ya sea \( -\infty \) o \( \infty \) para algunos valores de \( s \), pero su probabilidad será cero. - -*Como se especifica más adelante, esto es necesario para que su “función de densidad” tenga un área total finita.* - -# Variables aleatorias **discretas** I - -### Definición - -Una variable aleatoria discreta es una *va* cuyos valores posibles constituyen o un -**conjunto finito** o un **conjunto infinito *enumerable***. - -### Ejemplos - -- Las caras de un dado -- La población mundial -- Otros ejemplos que se mapean en \( \mathbb{N} \) \ No newline at end of file diff --git a/docs/5_espacio_eventos_moneda.svg b/docs/5_espacio_eventos_moneda.svg deleted file mode 100644 index e7848c4..0000000 --- a/docs/5_espacio_eventos_moneda.svg +++ /dev/null @@ -1,423 +0,0 @@ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - diff --git a/docs/5_func_acum_monedas.svg b/docs/5_func_acum_monedas.svg deleted file mode 100644 index c672567..0000000 --- a/docs/5_func_acum_monedas.svg +++ /dev/null @@ -1,597 +0,0 @@ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - diff --git a/docs/5_funcs_acum_condicionales.svg b/docs/5_funcs_acum_condicionales.svg deleted file mode 100644 index 8545f3e..0000000 --- a/docs/5_funcs_acum_condicionales.svg +++ /dev/null @@ -1,555 +0,0 @@ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - From 0738348acad87e3aaf42ce072b367b533596dd2d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cristhian Date: Thu, 12 Jun 2025 09:35:43 -0600 Subject: [PATCH 4/5] Restaurando 4_0_introduccion.md al estado original --- docs/4_0_introduccion.md | 122 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 122 insertions(+) diff --git a/docs/4_0_introduccion.md b/docs/4_0_introduccion.md index e69de29..1fca57a 100644 --- a/docs/4_0_introduccion.md +++ b/docs/4_0_introduccion.md @@ -0,0 +1,122 @@ +Los procesos aleatorios son los terceros “objetos aleatorios” por analizar. Incorporan una segunda variable independiente, el tiempo, que los hace útiles en la descripción de fenómenos cambiantes o dinámicos tales como las señales y los sistemas. + +# El problema inicial +## Variable aleatoria + +Los conjuntos S_1 = \{todos los equipos del campeonato nacional \} o +S_2 = {los colores favoritos de los estudiantes de esta clase} +son útiles en la descripción de ciertos eventos, pero no permiten la *manipulación numérica*. + +- Este espacio de eventos contiene conjuntos **abstractos**. +- Necesitamos **números** para sumar, restar, multiplicar, dividir… +- Necesitamos **funciones** para diferenciar, integrar… + +> Aquí es útil, entonces, la variable aleatoria… + + + + +# Variable aleatoria + +> **Definición** +Para un espacio de eventos \( S \), una **variable aleatoria** es cualquier regla que asocia +cada resultado elemental de \( S \) con **un número**. +Es decir, es una **función** cuyo dominio es el espacio (quizá abstracto) de eventos o muestras, +y cuyo rango es algún subconjunto de los números reales. + +![alt text](4_mapeo_multivaluado.svg) + +La notación \( X(s) = x \) significa que \( x \) es el valor asociado por \( X \) con el evento elemental \( s \). + + + +## Pero… + +### Una observación necesaria + +Las variables aleatorias *ni son variables, ni son aleatorias*[^1]. + +!!! note "Nota" + + + + \( X(s) \) es una **función** y es *determinística*, + pero describe el comportamiento de un fenómeno aleatorio subyacente. + + Por tanto, se trata de un nombre poco apropiado. En inglés: *misnomer*. + + + + +# Requisitos para la construcción de variables aleatorias I + +- **Un espacio de probabilidades** \( (S, P) \) para un experimento, que contiene todos los eventos elementales \( S \) y sus probabilidades asociadas \( P \). + +- **Una función de mapeo** \( X \) que mapea cada \( s \in S \) a un único punto \( x \in \mathbb{R} \) (la recta real). + +- **Una relación de dualidad** de la probabilidad, esto es, que si \( B \) es un subconjunto de \( \mathbb{R} \), la probabilidad del evento \( X(s) = B \) es equivalente a la del conjunto + \( A = X^{-1}(B) \in S \), que contiene todos los \( s \in S \) que se mapean a \( B \) bajo la función \( X \). + + +# Requisitos para la construcción de variables aleatorias II +![alt text](4_mapeo_VA_segmento_recta.svg) + +Figura: Mapeo de un subconjunto del espacio de eventos \( S \) en un segmento de la recta real \( \mathbb{R} \). + +\[ +X(s \in A) = B \qquad A = X^{-1}(B) \in S \qquad P(B) = P(A) +\] + + + +# Condiciones para que una función sea variable aleatoria I + +!!! note "Nota" + + *va* será la abreviación de “variable aleatoria”, de aquí en adelante. En inglés se utiliza **rv**, de *random variable*. + +Algunas condiciones debe cumplir \( X(s) \) para ser una *va*: + +🔵 Una variable aleatoria es una función **_no multivaluada_**. +Es decir, todo punto en \( S \) corresponde a solo un valor de la *va*. +(img/4_mapeo_multivaluado.svg) + +_Figura: Esto **no** (atención: **no**) representa el mapeo de una *va*._ + + + + +# Condiciones para que una función sea variable aleatoria II + +🔵 El conjunto \( \{ X \leq x \} \) existe y es un evento para cualquier número real \( x \). +Corresponde a los puntos \( s \) en el espacio de muestras \( S \) para los que la *va* \( X(s) \) no excede el número \( x \). + +(img/4_mapeo_X_leq_x.svg) + + +> La probabilidad \( P\{X \leq x\} \) es igual a la suma de las probabilidades de todos los eventos elementales \( s \) correspondientes a \( \{X \leq x\} \). + +# Condiciones para que una función sea variable aleatoria III + +🔵 Las probabilidades de los eventos \( \{ X = \infty \} \) y \( \{ X = -\infty \} \) son cero, es decir: + +\[ +P\{X = -\infty\} = 0 \qquad P\{X = \infty\} = 0 +\] + +\( X(s) \) puede ser ya sea \( -\infty \) o \( \infty \) para algunos valores de \( s \), pero su probabilidad será cero. + +*Como se especifica más adelante, esto es necesario para que su “función de densidad” tenga un área total finita.* + +# Variables aleatorias **discretas** I + +### Definición + +Una variable aleatoria discreta es una *va* cuyos valores posibles constituyen o un +**conjunto finito** o un **conjunto infinito *enumerable***. + +### Ejemplos + +- Las caras de un dado +- La población mundial +- Otros ejemplos que se mapean en \( \mathbb{N} \) \ No newline at end of file From 578e5281c94278304a6310d00b87b25b6ba7f13e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cristhian Date: Thu, 12 Jun 2025 09:48:02 -0600 Subject: [PATCH 5/5] Reescribiendo manualmente 4_0_introduccion.md con contenido original de main --- docs/4_0_introduccion.md | 123 +-------------------------------------- 1 file changed, 1 insertion(+), 122 deletions(-) diff --git a/docs/4_0_introduccion.md b/docs/4_0_introduccion.md index 1fca57a..9e09578 100644 --- a/docs/4_0_introduccion.md +++ b/docs/4_0_introduccion.md @@ -1,122 +1 @@ -Los procesos aleatorios son los terceros “objetos aleatorios” por analizar. Incorporan una segunda variable independiente, el tiempo, que los hace útiles en la descripción de fenómenos cambiantes o dinámicos tales como las señales y los sistemas. - -# El problema inicial -## Variable aleatoria - -Los conjuntos S_1 = \{todos los equipos del campeonato nacional \} o -S_2 = {los colores favoritos de los estudiantes de esta clase} -son útiles en la descripción de ciertos eventos, pero no permiten la *manipulación numérica*. - -- Este espacio de eventos contiene conjuntos **abstractos**. -- Necesitamos **números** para sumar, restar, multiplicar, dividir… -- Necesitamos **funciones** para diferenciar, integrar… - -> Aquí es útil, entonces, la variable aleatoria… - - - - -# Variable aleatoria - -> **Definición** -Para un espacio de eventos \( S \), una **variable aleatoria** es cualquier regla que asocia -cada resultado elemental de \( S \) con **un número**. -Es decir, es una **función** cuyo dominio es el espacio (quizá abstracto) de eventos o muestras, -y cuyo rango es algún subconjunto de los números reales. - -![alt text](4_mapeo_multivaluado.svg) - -La notación \( X(s) = x \) significa que \( x \) es el valor asociado por \( X \) con el evento elemental \( s \). - - - -## Pero… - -### Una observación necesaria - -Las variables aleatorias *ni son variables, ni son aleatorias*[^1]. - -!!! note "Nota" - - - - \( X(s) \) es una **función** y es *determinística*, - pero describe el comportamiento de un fenómeno aleatorio subyacente. - - Por tanto, se trata de un nombre poco apropiado. En inglés: *misnomer*. - - - - -# Requisitos para la construcción de variables aleatorias I - -- **Un espacio de probabilidades** \( (S, P) \) para un experimento, que contiene todos los eventos elementales \( S \) y sus probabilidades asociadas \( P \). - -- **Una función de mapeo** \( X \) que mapea cada \( s \in S \) a un único punto \( x \in \mathbb{R} \) (la recta real). - -- **Una relación de dualidad** de la probabilidad, esto es, que si \( B \) es un subconjunto de \( \mathbb{R} \), la probabilidad del evento \( X(s) = B \) es equivalente a la del conjunto - \( A = X^{-1}(B) \in S \), que contiene todos los \( s \in S \) que se mapean a \( B \) bajo la función \( X \). - - -# Requisitos para la construcción de variables aleatorias II -![alt text](4_mapeo_VA_segmento_recta.svg) - -Figura: Mapeo de un subconjunto del espacio de eventos \( S \) en un segmento de la recta real \( \mathbb{R} \). - -\[ -X(s \in A) = B \qquad A = X^{-1}(B) \in S \qquad P(B) = P(A) -\] - - - -# Condiciones para que una función sea variable aleatoria I - -!!! note "Nota" - - *va* será la abreviación de “variable aleatoria”, de aquí en adelante. En inglés se utiliza **rv**, de *random variable*. - -Algunas condiciones debe cumplir \( X(s) \) para ser una *va*: - -🔵 Una variable aleatoria es una función **_no multivaluada_**. -Es decir, todo punto en \( S \) corresponde a solo un valor de la *va*. -(img/4_mapeo_multivaluado.svg) - -_Figura: Esto **no** (atención: **no**) representa el mapeo de una *va*._ - - - - -# Condiciones para que una función sea variable aleatoria II - -🔵 El conjunto \( \{ X \leq x \} \) existe y es un evento para cualquier número real \( x \). -Corresponde a los puntos \( s \) en el espacio de muestras \( S \) para los que la *va* \( X(s) \) no excede el número \( x \). - -(img/4_mapeo_X_leq_x.svg) - - -> La probabilidad \( P\{X \leq x\} \) es igual a la suma de las probabilidades de todos los eventos elementales \( s \) correspondientes a \( \{X \leq x\} \). - -# Condiciones para que una función sea variable aleatoria III - -🔵 Las probabilidades de los eventos \( \{ X = \infty \} \) y \( \{ X = -\infty \} \) son cero, es decir: - -\[ -P\{X = -\infty\} = 0 \qquad P\{X = \infty\} = 0 -\] - -\( X(s) \) puede ser ya sea \( -\infty \) o \( \infty \) para algunos valores de \( s \), pero su probabilidad será cero. - -*Como se especifica más adelante, esto es necesario para que su “función de densidad” tenga un área total finita.* - -# Variables aleatorias **discretas** I - -### Definición - -Una variable aleatoria discreta es una *va* cuyos valores posibles constituyen o un -**conjunto finito** o un **conjunto infinito *enumerable***. - -### Ejemplos - -- Las caras de un dado -- La población mundial -- Otros ejemplos que se mapean en \( \mathbb{N} \) \ No newline at end of file +Los procesos aleatorios son los terceros “objetos aleatorios” por analizar. Incorporan una segunda variable independiente, el tiempo, que los hace útiles en la descripción de fenómenos cambiantes o dinámicos tales como las señales y los sistemas. \ No newline at end of file