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Itschris01/funcionacumulativacondicional #60

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Itschris01/funcionacumulativacondicional #60

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7a55912
Transcripción de función acumulativa condicional
Itschris01 May 27, 2025
05d964c
Agregando transcripción y recursos gráficos para función acumulativa …
Itschris01 Jun 12, 2025
ab9cbbf
Agregando correciones necesarias
Itschris01 Jun 12, 2025
0738348
Restaurando 4_0_introduccion.md al estado original
Itschris01 Jun 12, 2025
578e528
Reescribiendo manualmente 4_0_introduccion.md con contenido original …
Itschris01 Jun 12, 2025
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@@ -1,6 +1,169 @@
### Presentación

[5 - Funciones de distribución condicionales](https://www.overleaf.com/read/shfztrcvfysx#c6be0c)
# Función acumulativa condicional I

!!! tip "Definición: Función acumulativa condicional"

Sea \( A \) el evento \( \{X \leq x\} \) de la variable aleatoria \( X \).
La probabilidad \( P(X \leq x \mid B) \) se define como la *función acumulativa condicional* de \( X \), que se denota \( F_X(x \mid B) \):

\[
P(A \mid B) = P(X \leq x \mid B) \triangleq F_X(x \mid B) \tag{1}
\]

\[
F_X(x \mid B) = \frac{P\left[(X \leq x) \cap B\right]}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A \mid B) \tag{2}
\]

Aplicable a variables aleatorias discretas, continuas o mixtas.





---

# Función acumulativa condicional II

El evento conjunto \( \{X \leq x\} \cap B \) consiste de los resultados \( s \) tales que \( X(s) \leq x \) y \( s \in B \).

![Mapeo evento conjunto](images/5_mapeo_evento_conjunto.svg)




\[
\{s : X(s) \leq x \land s \in B\} = \{s_1, s_2, s_3\}
\]




---
# Propiedades de la función acumulativa condicional

!!! tip "Propiedades de la función acumulativa condicional"
Todas las propiedades de las funciones acumulativas ordinarias se aplican a \( F_X(x \mid B) \):

1️⃣ Similar a \( P(\emptyset) = 0 \):
  \( F_X(-\infty \mid B) = 0 \)

2️⃣ Similar a \( P(S) = 1 \):
  \( F_X(\infty \mid B) = 1 \)

3️⃣ Es una probabilidad:
  \( 0 \leq F_X(x \mid B) \leq 1 \)

4️⃣ Es no decreciente:
  \( F_X(x_1 \mid B) \leq F_X(x_2 \mid B) \) si \( x_1 < x_2 \)

5️⃣ Probabilidad de un segmento:
\[
P\{x_1 < X \leq x_2 \mid B\} = F_X(x_2 \mid B) - F_X(x_1 \mid B)
\]

6️⃣ Continuidad por la derecha:
  \( F_X(x^+ \mid B) = F_X(x \mid B) \)

---

# Ejemplo de un evento \( B \) discreto I

Si solo existen los resultados elementales \( B = \{b_1, b_2, b_3\} \) entonces puede existir una función acumulativa \( F_X(x \mid B) \) con tres parámetros distintos, a saber
![Mapeo evento conjunto](images/5_funcs_acum_condicionales.svg)


---

---

:material-pencil-box: **EJEMPLO**

!!! example "Ejemplo de tres lanzamientos de monedas I"
Considere el experimento de tres lanzamientos de moneda (o el lanzamiento de tres monedas, que es equivalente porque son eventos independientes). Sea la *va* \( X \) “el número total de coronas” y sea el evento \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \).
Determine y esboce \( F_X(x \mid B) \).

El lanzamiento de monedas tiene ocho resultados distintos \( (2^3) \). El evento \( B \) es:

\[
B = \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\}
\]

con \( P(B) = \frac{1}{2} \)

---


---

---

:material-pencil-box: **EJEMPLO**

!!! example "Ejemplo de tres lanzamientos de monedas II"
Considere el evento conjunto \( \{X \leq x\} \cap B \) y la definición

\[
F_X(x \mid B) = \frac{P(\{X \leq x\} \cap B)}{P(B)}
\]

Si \( X \) es “el número total de coronas” y \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \), entonces:

| \( x \) | \( \{X \leq x\} \cap B \) | \( P(\{X \leq x\} \cap B) \) | \( F_{X \mid B} \) |
|--------|------------------------------------------------------|------------------------------|--------------------|
| 0 | \( \{\text{EEE}\} \cap B = \emptyset \) | 0 | 0 |
| 1 | \( \{\text{CEE, ECE, EEC, EEE}\} \cap B = \emptyset \) | 0 | 0 |
| 2 | \( \{\text{CCE, CEC, ECC}\} \) | 3/8 | 3/4 |
| 3 | \( \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\} = B \) | 4/8 | 1 |

---

---

# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas III
![Mapeo evento conjunto](images/5_espacio_eventos_moneda.svg)


> **Figura:** Espacio de eventos del experimento de tres lanzamientos de moneda, junto con los eventos \( X \), “el número total de coronas” y \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \), es decir,
> \( B = \{\text{CCC, CCE, CEC, ECC}\} \)



---

# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas IV

Entonces,

\[
F_X(x \mid B) =
\begin{cases}
0 & x < 2 \\
3/4 & 2 \leq x < 3 \\
1 & 3 \leq x
\end{cases}
\]

mientras que,

\[
F_X(x) =
\begin{cases}
0 & x < 0 \\
1/8 & 0 \leq x < 1 \\
1/2 & 1 \leq x < 2 \\
7/8 & 2 \leq x < 3 \\
1 & 3 \leq x
\end{cases}
\]


---

# Ejemplo de tres lanzamientos de monedas V
![Mapeo evento conjunto](images/5_func_acum_monedas.svg)


> \( X \) es “el número total de coronas” y \( B = \{\text{más coronas que escudos}\} \)



### Secciones
- Función acumulativa condicional (1 - 9)