UnBalloon · LeoRiether · Nov 15, 2019 · Nov 22, 2019 · Nov 22, 2019 · Nov 26, 2019
diff --git a/DSU/README.md b/DSU/README.md
@@ -0,0 +1,141 @@
+# Disjoint-Set/Union-Find
+
+> É recomendado que você leia as aulas de [conceitos de grafos](/Grafos/) e [detecção de ciclos](/Detecção%20de%20ciclos/) antes dessa.
+
+Uma das estruturas de dados mais elegantes existentes é o Union-Find, também conhecido como Disjoint-Set, Merge-Find e DSU. 
+O problema que essa ED resolve é o seguinte: dados vários conjuntos disjuntos, como podemos saber se dois elementos 
+estão no mesmo conjunto ou não, além de poder unir dois conjuntos, tudo isso em tempo rápido?
+Uma DSU realiza essas duas operações em tempo praticamente constante!
+
+![concept](https://imgur.com/7UF6cLRm.png "Conjuntos disjuntos de números")
+
+# Operações
+Podemos fazer 4 operações em um Union-Find:
+1. **MakeSet/Build:** Inicializa a estrutura de dados.
+2. **Find(X):** Encontra o "id" do conjunto que contem o elemento X.
+3. **SameSet(X, Y):** Verifica se X e Y pertencem ao mesmo conjunto.
+4. **Join/Merge/Union(X, Y):** Encontra os conjuntos que contém X e Y, e une os dois.
+
+# A Ideia
+O truque que podemos usar para saber se dois números estão no mesmo conjunto é escolher um "elemento representante" para cada conjunto:
+
+![representante](https://imgur.com/OpWvushm.png "Representantes")
+
+Agora dois elementos pertencem ao mesmo conjunto se (e somente se) eles tem o mesmo representante. Mas como podemos achar esse elemento, dado qualquer um dos elementos do conjunto? Simples, podemos manter um vetor `P[]`, onde P[x] = representante. Visualizamos isso como uma setinha/ponteiro para P[x]:
+
+![parent pointers](https://imgur.com/046YbLXm.png "Ponteiros para os representantes")
+
+Perceba que os representantes são os elementos que apontam para eles mesmos (P[x] = x).
+
+# Union
+Com isso, as operações de Find e SameSet ficam triviais, mas como seria a de Union? Suponha que temos dois conjuntos A e B, cada um com N elementos. Para unir A e B podemos fazer todos os elementos de B apontarem para o representante de A. Isso funciona, mas é muito lento (O(N) por Union). Podemos fazer melhor com uma modificação simples na estrutura.
+
+![dsu union 1](https://imgur.com/wyvZvpcm.png)
+
+Em vez de mudar os ponteiros de todos os elementos de B, vamos fazer apenas o representante de B apontar para o de A:
+
+![dsu united](https://imgur.com/oE64rN7m.png)
+
+Agora o Union funciona em O(1)! Mas nosso Find quebrou. O Find de 4, por exemplo, será P[4] = 3, mas 3 não é representante! Consertar isso é simples, basta pegar P[x] sucessivamente até termos um representante (até ter P[x] = x). Estamos basicamente subindo na árvore formada até encontrar a raiz. Já podemos escrever o código de todas as operações:
+
+```cpp
+int P[100005];
+
+void Build() {
+  // Apontamos cada número para ele mesmo, para fazer N conjuntos disjuntos
+  for (int i = 0; i < 100005; i++)
+    P[i] = i;
+}
+
+// versão iterativa
+int Find(int x) {
+  while (P[x] != x)
+    x = P[x];
+   return x;
+}
+
+// versão recursiva
+// É importante aprender essa versão antes de continuar para as otimizações
+int Find(int x) {
+  if (P[x] == x) {
+    return x;
+  }
+  return Find(P[x]);
+}
+
+void Union(int x, int y) {
+  P[Find(x)] = Find(y); // aponta o representante de x para o de y
+}
+```
+
+# Otimizações
+Nosso Union-Find está ficando melhor, mas ainda não faz tudo em O(1), porque a árvore pode ter altura muito grande, o que gera operações Find em O(N). Há duas maneiras de diminuir essa altura:
+
+## Path Compression
+Sempre que chamamos Find(x) vamos subir na árvore até encontrar o representante, que vamos chamar agora de `R`. Concorda que o conjunto não muda se fizermos `P[x] = R`? É exatamente isso que path compression faz, mas não só para x, aplicamos a compressão recursivamente em todo o caminho de `x` até a raiz.
+
+![dsu path compression](https://imgur.com/8KPBKfJm.png)
+
+A implementação disso é bem simples
+```cpp
+int Find(int x) {
+  if (P[x] == x) {
+    return x;
+  }
+  return P[x] = Find(P[x]); // Só colocamos um "P[x] =" nessa linha
+}
+```
+
+Aplicar só essa otimização já deixa o Find em [O(log N)](http://e-maxx.ru/bookz/files/dsu/Efficiency%20of%20a%20Good%20But%20Not%20Linear%20Set%20Union%20Algorithm.%20Tarjan.pdf).
+
+## Union by size
+Enquanto o path compression diminui a altura, o union by size faz as uniões aumentando a altura o mínimo possível. A ideia é que se vamos unir X e Y, e o conjunto de X é menor que o de Y, é melhor apontar X->Y do que Y->X. Vamos então guardar a informação de tamanho de um conjunto no array `S[]`. Importante: com path compression esse array pode não estar certo em todo índice, mas ele sempre está certo para um índice que é representante. O código fica assim:
+
+```cpp
+int P[100005], S[100005];
+
+void Build() {
+  // Também precisamos inicializar os tamanhos de cada conjunto
+  for (int i = 0; i < 100005; i++)
+    P[i] = i, S[i] = 1;
+}
+
+void Union(int x, int y) {
+  x = Find(x);
+  y = Find(y);
+  if (x == y) return;
+  if (S[x] > S[y]) swap(x, y); // depois disso x é o conjunto menor
+  P[x] = y;
+  S[y] += S[x];
+}
+```
+
+Com isso, as operações de Find podem ser feitas em O(log N) sem compressão de caminhos. Provar isso fica como exercício ao leitor. 
+
+Utilizando tanto path compression quanto union by size podemos fazer o Find em O(α(N)), onde α é a função inversa de Ackermann. Essa função cresce tão lentamente que é mais fácil considerar ela igual a O(1), mas não escreva isso em uma prova.
+
+Há outras otimizações possíveis que também deixam o Find em O(α(N)), que podem ser encontradas na [Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint-set_data_structure#Operations).
+
+# Problemas
+> Tente resolver por 10-15 minutos antes de olhar a solução
+
+## [News Distribution](https://codeforces.com/problemset/problem/1167/C)
+<details>
+ <summary>Solução</summary>
+ Primeiro, perceba que se dois grupos tem um membro em comum, por exemplos os grupos A = {1,2} e B = {2,3}, temos uma situação equivalente a ter um grupo só C = {1,2,3}. Isso acontece, porque sempre que temos uma intersecção entre dois grupos ela distribui as notícias de um grupo para o outro. No conjunto final, C, a resposta (the number of users that will know the news if user i starts distributing it) de todos os membros é a mesma, o tamanho do conjunto. Sendo assim, podemos, para cada grupo do input, unir todos os membros em um conjunto de uma DSU. Após isso, já podemos responder as perguntas em O(1) para cada usuário. Para mais detalhes da implementação, o código está disponibilizado abaixo. // TODO: review
+ </details>
+
+[Código](https://codeforces.com/contest/1167/submission/65958807)
+
+## [Quando não usar path compression](https://www.urionlinejudge.com.br/judge/pt/problems/view/1476)
+<details>
+ <summary>Dica</summary>
+ Ordene as arestas por peso do maior para o menor. Colocando aresta por aresta no grafo, quando dois vértices ficam conectados pela primeira vez, o caminho que existe entre eles é o melhor possível, visto que qualquer aresta colocada depois disso tem peso menor (ou igual). // TODO
+</details>
+<details>
+ <summary>Solução</summary> 
+
+</details>
+
+# Material Extra
++ Visualização interativa: https://visualgo.net/en/ufds