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-### Presentación
+# Momentos de una variable aleatoria
 
-[6 - Valor esperado y momento de una variable aleatoria](https://www.overleaf.com/read/sddgrhxfdtjs#ff3cb6)
+## Introducción
 
-### Secciones
-- Momentos de una variable aleatoria (14 - 28)
+> El valor esperado es un caso especial de una categoría más general, denominada "momentos de una variable aleatoria". Son valores que resumen o sintetizan propiedades de la variable aleatoria.
+
+> Mientras que la función de densidad de probabilidad (PDF) es una **descripción completa** de la variable aleatoria, los momentos cuantifican ciertas propiedades como el “valor esperado”, la “dispersión”, la “inclinación” o “lo
+llano” de una *va* y son una herramienta estadística
+valiosa para el análisis de su comportamiento.
+
+---
+
+## Momentos alrededor del origen u *ordinarios*
+
+!!! tip "Momentos ordinarios"
+    La función \( g(X) = X^n \), \( n = 0, 1, 2, \ldots \), da los momentos alrededor del origen de la variable aleatoria \( X \) son:
+
+    \[
+    m_{n} = E\left[ X^{n} \right] = \int_{-\infty}^{\infty} x^{n} f_{x}(x) \, dx
+    \]
+
+**Casos especiales:**
+
+El valor \( m_0 = 1 \) es el área de la función \( f_x(x) \), en tanto que \( m_1 = \overline{X} = E[X] \) es el valor esperado de \( X \).
+
+---
+
+## Momentos alrededor de la media o *centrales*
+
+!!! tip "Momentos centrales"
+
+    Los momentos alrededor del valor medio \( \overline{X} \) se llaman momentos centrales y se denotan por \( \mu_n \). Son el valor esperado de la función \(g(x)= (X - \overline{X})^n , n=0,1,2,\ldots\) es decir,
+
+    \[
+    \mu_n = E\left[ (X - \overline{X})^n \right] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \overline{X})^n f_X(x) \, dx
+    \]
+
+**Casos especiales:**
+
+\( \mu_0 = 1 \) es el áres de \( f_x(x) \), mientras que \( \mu_1 = 0 \) 
+
+
+---
+
+## Clasificación de momentos
+
+- **Momentos ordinarios** (alrededor del origen): \( E[X^n] \)
+- **Momentos centrales**(alrededor de la media): \( E[(X - \overline{X})^n] \)
+- **Momentos generalizados**(alrededor de un número cualquiera): \( E[(X - a)^n] \)
+- **Momentos absolutos**(momentos alrededor del origen con los valores absolutos de la
+variable aleatoria): \( E[|X|^n] \)
+
+---
+
+## Algunos momentos importantes 
+Aparte de la media, algunos momentos particulares tienen nombres especiales y son los
+más comúnmente utilizados para describir las variables aleatorias. Ellos son:
+
+| Nombre                | Descripción                          |
+|----------------------|--------------------------------------|
+| **Varianza / Desviación estándar** | Medida de la *dispersión* |
+| **Sesgo**             | Medida de la *inclinación*           |
+| **Curtosis**          | Medida del *abultamiento*            |
+
+---
+
+## Valor esperado
+
+Según la nueva definición de momentos, el valor esperado (o suma ponderada o
+promedio o esperanza matemática. . . ) es \(m_1\), el primer momento ordinario
+
+\[
+m_1 = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) \, dx
+\]
+
+---
+
+## Varianza y desviación estándar
+
+**Segundo momento central:**
+
+A \( \mu_2 \) se le da el nombre *varianza* y tiene la notación \(\sigma_X^2\)
+
+\[
+\begin{aligned}
+\sigma_X^2 &= E[(X - \overline{X})^2] \\
+           &= \int_{-\infty}^{\infty} (x - \overline{X})^2 f_X(x) \, dx \\
+           &= E[X^2-2X\overline{X}+\overline{X}^2]\\
+           &= E[X^2] -2(E[X])^2+ \overline{X}^2\\
+           &= E[X^2] - \overline{X}^2 \\
+           &= m_2 - m_1^2
+\end{aligned}
+\]
+
+La raíz cuadrada positiva de la varianza, \(\sigma_x\) , se denomina la **desviación estándar** de X.
+Es una medida de la dispersión de la función \(f_{x} (x)\) alrededor de la media.
+
+**Desviación estándar:** \( \sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2} \)
+
+---
+
+## Inclinación (*skewness*)
+
+**Tercer momento central:**
+
+\[
+\mu_3 = E[(X - \overline{X})^3]
+\]
+
+es una medida de la asimetría de \(f_X (x)\) alrededor de su valor medio.
+Se le llama la inclinación (*skewness*) de la función de densidad.
+
+*  Si una densidad es simétrica alrededor de \(x = \overline{X}, \) tiene cero inclinación, de hecho, \(\sigma_n = 0\) para valores impares de n.
+* El tercer momento central normalizado \( \mu_3/ \sigma_x^3\) es conocido como el *coeficiente de inclinación* de la función de densidad,
+
+
+\[
+S_X = E\left[ \left( \frac{X - m_1}{\sigma_X} \right)^3 \right]
+\]
+
+que es un número adimensional que describe la inclinación o el sesgo del PDF. Si \(S_X\)
+es 0, la PDF es simétrica, y si es negativo o positivo tiende a la izquierda o la
+derecha, respectivamente.
+
+## Kurtosis
+
+### Momento central de orden cuatro
+
+La **kurtosis** $\kappa_X$ se define como:
+
+$$
+\kappa_X = E \left[ \left( \frac{X - m_1}{\sigma_X} \right)^4 \right] - 3
+$$
+
+Y es un número adimensional descriptor del **abultamiento** de la variable aleatoria \(\ldots \)
+
+- \(\ldots \) si está *"achatada"* ($\kappa_X < 0$) → *platicúrtica*
+- \(\ldots \) o es *prominente* ($\kappa_X > 0$) → *leptocúrtica*
+
+La sustracción del 3 es una comparación con la distribución normal (que es siempre $\kappa_X = 3$) la cual se diría no es ni achatada ni prominente.
+
+
+
+
+
+
+---
+
+:material-pencil-box: **Ejemplo para un $f_X(x)$ de los primeros cuatro momentos I**
+
+!!! example ""
+
+
+    Para el siguiente PDF, $f_X(x)$, determine los primeros cuatro momentos de la variable aleatoria.
+
+![Descripción de la imagen](images/6_dist_dado.svg)
+
+    ¿Primeras impresiones sobre la media, la dispersión, la inclinación y la kurtosis?
+
+---
+
+:material-pencil-box: **EJEMPLO II**
+
+!!! example ""
+
+
+    $$
+    f_X(x) =
+    \begin{cases}
+    1 		& 0 \leq x < 0.5 \\
+    0.5 	& 0.5 \leq x < 1.5 \\
+    0		& \text{en otro caso}
+    \end{cases}
+    $$
+
+    **La media** momento ordinario de orden uno,
+
+    $$
+    m_1 = E[X] = \int_{0}^{0.5} x \cdot 1\,dx + \int_{0.5}^{1.5} x \cdot 0.5\,dx = 0.625
+    $$
+
+
+
+---
+
+
+---
+
+:material-pencil-box: **EJEMPLO III**
+
+!!! example ""
+    **La varianza** momento central de orden dos, 
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    \sigma_X^2 &= E[(X - m_1)^2] \\
+    &= E[X^2] - m_1^2 \\
+    &= \int_{0}^{0.5} x^2 \cdot 1\,dx + \int_{0.5}^{1.5} x^2 \cdot 0.5\,dx - 0.625^2 \\
+    &= 0.1927
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    El significado de este número usualmente se aprecia en relación con otras
+    densidades probabilísticas (¿qué tan disperso es uno en comparación con
+    el otro?), y puede tener algún significado importante para el experimento
+    (la precisión de fabricación, por ejemplo).
+
+---
+
+:material-pencil-box: **EJEMPLO IV**
+
+!!! example ""
+    **La inclinación (skewness)** momento central de orden tres,
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    S_X &=  \left[ \left( \frac{X - m_1}{\sigma_X} \right)^3 \right] \\
+    &= \int_{0}^{0.5} \left( \frac{x - 0.625}{0.439} \right)^3 \cdot 1\,dx \\
+    &\quad + \int_{0.5}^{1.5} \left( \frac{x - 0.625}{0.439} \right)^3 \cdot 0.5\,dx \\
+    &= 0.416
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    Esto implica que está sesgada a la derecha.
+
+
+---
+
+:material-pencil-box: **EJEMPLO V**
+
+!!! example ""
+    **La kurtosis** momento central de orden cuatro,
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    \kappa_X &=  \left[ \left( \frac{X - m_1}{\sigma_X} \right)^4 \right]  \\
+    &= \int_{0}^{0.5} \left( \frac{x - 0.625}{0.439} \right)^4 \cdot 1\,dx \\
+    &\quad + \int_{0.5}^{1.5} \left( \frac{x - 0.625}{0.439} \right)^4 \cdot 0.5\,dx - 3 \\
+    &= -0.105
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    lo que implica que tiene una cima achatada.
+
+---
+
+
+## Ejemplos de momentos para distribuciones usuales I
+<!--
+| ![](images/6_prom_potencia.svg) | ![](images/6_escala_apgar.svg) | ![](images/6_pdf_rayleigh.svg) |
+|:---------:|:---------:|:---------:|
+| Uniforme  | Exponencial | Rayleigh |-->
+
+<!-- En la presentanción aqui van 3 imagenes pero no están agregadas en la carpeta images, agregué las que se usan de ejemplos en otro lugar de la presentación  -->
+
+
+| **Característica** | **Uniforme**                         | **Exponencial**              | **Rayleigh**                                              |
+|--------------------|--------------------------------------|------------------------------|-----------------------------------------------------------|
+| **PDF**            | $\frac{1}{b - a}$                    | $\lambda e^{-\lambda x}$     | $\frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2 / (2\sigma^2)}$              |
+| **Media**          | $\frac{1}{2}(a + b)$                 | $\lambda^{-1}$               | $\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$                            |
+| **Varianza**       | $\frac{1}{12}(b - a)^2$              | $\lambda^{-2}$               | $\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2$                             |
+| **Inclinación**    | $0$                                  | $2$                          | $\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4 - \pi)^{3/2}} \approx 0.63$ |
+| **Kurtosis**       | $-\frac{6}{5}$                       | $6$                          | $-\frac{6\pi^2 - 24\pi + 16}{(4 - \pi)^2} \approx 0.24$   |
+
+---
+
+# Videos y referencias en internet
+-**The Expected Value and Variance of Discrete Random Variables**
+
+jbstatistics, [https://youtu.be/Vyk8HQOckIE](https://youtu.be/Vyk8HQOckIE)